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剩余类
剩余类（Residue Classes）简介 剩余类（Residue Classes）简介 剩余类是数论中的一个重要概念，尤其在模运算（modular arithmetic）中起着关键作用。它在密码学、计算机科学和编码理论中有广泛应用。 什么是剩余类？ 在模 \( m \) 算术中，如果两个整数 \( a \) 和 \( b \) 具有相同的余数，那么它们被认为是模 \( m \) 同余的，即： \( a \equiv b \pmod{m} \) 这里，\( m \) 被称为**模数（modulus）**，而所有与 \( a \) 同余的整数组成一个**剩余类（residue class）**。 剩余类的定义 对任意整数 \( a \) 和模数 \( m \)，**剩余类**是所有与 \( a \) 模 \( m \) 同余的整数的集合，记作： \( [a]_m = \{ a + km \mid k \in \mathbb{Z} \} \) 这意味着，所有与 \( a \) 具有相同余数的整数都属于同一个剩余类。 示例 假设模数 \( m = 5 \)，则数字 2 的剩余类是： \( [2]_5 = \{ \dots, -8, -3, 2, 7, 12, 17, \dots \} \) 这些数被 5 除后，都余 2，因此它们属于同一剩余类。 完整剩余系 **完整剩余系（Complete Residue System）**是模 \( m \) 下的一组代表数，通常选择： \( \{ 0, 1, 2, \dots, m-1 \} \) 例如，模 5 下的完整剩余系为 \( \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} \)。 应用领域 密码学： 许多加密算法（如 RSA）依赖模运算。 计算机科学： 哈希函数、循环冗余校验（CRC）等使用模运算。 数论： 费马小定理、欧拉定理和中国剩余定理等均涉及剩...
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